层次分析法 APH

层次分析法（APH，Analytic Hierarchy Process），又名专家分析法，1971年由Thomas L. Saaty（匹兹堡大学教授）提出，主要应用在不确定情况下及具有多个评估准则的决策问题上。

本质 Essence

层次分析法的本质：

分层
分权

整个过程可以由专家团参与完成。

分层 Hierarchy

分层，将一个复杂指标分解为若干子指标，每个子指标再各自分解为更小的子指标，逐层分解，直到可度量的末级指标。

分权 Weighting

分权，给同一层级的指标匹配权重，通过两两比较的方式降低比较难度。

步骤 Procedures

建立层次结构模型
构造指标的成对比较矩阵
计算权向量并进行一致性检验
计算组合权向量，并做组合一致性检验

建立层次结构模型

拆分为$n$个指标：$\lbrace x_1, x_2, \cdots, x_n \rbrace$

假设可拆解为3个指标/元素：$\lbrace x_1, x_2, x_3 \rbrace$

构造指标成对比较矩阵

用相对权重$a_{ij}$表示第$i$个指标/元素与第$j$个指标/元素相对上一层某个元素的重要性，构成成对比较矩阵/判断矩阵$\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}$。其中，

$a_{ij} > 0$（$i,j=1,\cdots,n$）
$a_{ii}=1$（$i=1,\cdots, n$）
$a_{ij}=\frac{1}{a_{ji} }$（$i,j=1,\cdots,n$）

对比时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的因素相互比较的困难，以提高准确度。由专家对同一层次内$n$个指标的相对重要性（两两因素间）打分。相对重要性的比例标度取1-9之间（可参考下表）。

比较值	定义 Meaning
1	两个因素相比，具有同等重要性
3	两个因素相比，前者比后者稍微重要
5	两个因素相比，前者比后者明显重要
7	两个因素相比，前者比后者强烈重要
9	两个因素相比，前者比后者极端重要
2,4,6,8	上述相邻判断的中间值

	$x_1$	$x_2$	$x_3$
$x_1$	1	5	7
$x_2$	1/5	1	3
$x_3$	1/7	1/3	1

先按列标准化
再求行平均值

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	行平均值
$x_1$	$\frac{35}{47}$	$\frac{15}{19}$	$\frac{7}{11}$	157/217 即0.7235023
$x_2$	$\frac{7}{47}$	$\frac{3}{19}$	$\frac{3}{11}$	5693/29469 即0.1931861
$x_3$	$\frac{5}{47}$	$\frac{1}{19}$	$\frac{1}{11}$	2455/29469 即0.08330788

一致性 Consistency

一致性指标$CI$（Consistency Index）：
$$CI=\frac{\lambda_{\max} - n}{ n - 1 }$$

其中，

$\lambda_{\max}$：指标矩阵特征值的最大值
$n$：指标个数

矩阵$\mathbf{A}$的特征值即行列式（determinant）$\left| \lambda \mathbf{I} - \mathbf{A} \right| = 0$的解。

\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left| \lambda \mathbf{I} - \mathbf{A} \right| = 0 \\
\iff & \left|
\begin{array}{ccc}
\lambda - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\
-a_{21} & \lambda - a_{22} & -a_{23} \\
-a_{31} & -a_{32} & \lambda - a_{33}
\end{array}
\right| = 0 \\
\iff & (\lambda - a_{11}) (-1)^{1+1} \left| \begin{array}{cc} \lambda - a_{22} & -a_{23} \\ -a_{32} & \lambda - a_{33} \end{array} \right| + (-a_{21})(-1)^{2+1} \left| \begin{array}{cc} -a_{12} & -a_{13} \\ -a_{32} & \lambda - a_{33} \end{array} \right| \\
& + (-a_{31})(-1)^{3+1} \left| \begin{array}{cc} -a_{12} & -a_{13} \\ \lambda - a_{22} & -a_{23} \end{array} \right|=0 \\
\iff & (\lambda - a_{11})\left[ (\lambda - a_{22})(\lambda - a_{33}) - a_{23}a_{32} \right] + a_{21} \left[ a_{13}a_{32} - a_{12}(\lambda - a_{33}) \right] \\
& - a_{31} \left[ a_{12}a_{23} - a_{13}(\lambda - a_{22}) \right] = 0
\end{aligned}
\end{equation}

使用Python求解矩阵的特征值：

import numpy as np
A = np.array(
    [
        矩阵元素
    ]
)
eigenvalue, featurevector = np.linalg.eig(mat)
print('特征值:', eigenvalue)
print('特征向量：', featurevector)

$$
\mathbf{A}=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 5 & 7 \\
\frac{1}{5} & 1 & 3 \\
\frac{1}{7} & \frac{1}{3} & 1
\end{array}
\right)
$$

使用Python求解矩阵的特征值：

import numpy as np

mat = np.array(
    [
        [1, 5, 7],
        [1/5, 1, 3],
        [1/7, 1/3, 1]
    ]
)
eigenvalue, featurevector = np.linalg.eig(mat)
print('特征值:', eigenvalue)
# 特征值: [ 3.06488758+0.j         -0.03244379+0.44477021j -0.03244379-0.44477021j]
print('特征向量：', featurevector)
# 特征向量： [[ 0.96280192+0.j          0.96280192+0.j          0.96280192-0.j        ]
#  [ 0.24825501+0.j         -0.1241275 +0.21499514j -0.1241275 -0.21499514j]
#  [ 0.1066861 +0.j         -0.05334305-0.09239287j -0.05334305+0.09239287j]]

则$\lambda_{\max} = 3.065$。因此一致性指标为
$$CI=\frac{3.065 - 5}{5 - 1} = -0.48375$$

随机一致性 Random Consistency

随机构造$N$个判断矩阵，并计算一致性指标$CI$，则随机一致性指标$RI$（Random Index）为
$$RI = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N CI_i$$

一致性检验 Consistency Check

一致性比率$CR$（Consistency Ratio）：
$$CR = \frac{CI}{RI}$$

一般认为，$CR<0.1$为一致性检验通过。

实现代码

Python

##### 自定义函数 #####
## 计算一致性指标CI
def CI_func(A):
    '''
    A：判断矩阵
    n：指标个数
    '''
    n = len(A)
    eigenValue, eigenVector = np.linalg.eig(A)
    lambdaMax = max(eigenValue)
    CI = (lambdaMax - n) / (n - 1)
    return CI

## 计算随机一致性指标RI
def matrix_gen(seed):
    '''
    随机构造判断矩阵
    '''
    待补充

def RI_func(A, N):
    '''
    计算随机一致性指标RI
    A：判断矩阵
    N：随机次数
    n：指标个数
    '''
    n = len(A)
    ciRandom = []
    for i in range(N):
        B = matrix_gen(seed=i)
        B_ci = CI_func(B)
        ciRandom.append(B_ci) 
    RI = sum(ciRandom) / N
    return RI


##### 一致性检验实操 ######
import numpy as np
## 判断矩阵
A = np.array([
    矩阵元素
])
ci = CI_func(A)
N = 500  # 随机次数
ri = RI_func(A, N)
cr = ci / ri
if cr < 0.1:
    print("一致性检验通过，一致性比率CR={}<0.1".format(cr))
else:
    print("一致性检验不通过，一致性比率CR={}".format(cr))

Skye

数据分析 | 层次分析法（APH）// Analytic Hierarchy Process