生活中大多数场景服从泊松分布，如奶茶店一天的顾客数、理发店一天的顾客数、馒头店一天卖出的馒头数等等。
假设我经营着一家咖啡馆——SW Coffee。
考虑长度为$T$的时间段内光顾的客人数量。将$T$时间切分为$n$份，每个时间段内只会发生“来了一位客人”或“没来客人”，即二项分布Binomial(p)
$$P(来了一位客人)=p$$
那么，$T$时间段内来的客人数量$X$服从$n$重Bernoulli分布B(n,p)
$$P(X=k)=\left(
\begin{array}{c}
n\
k
\end{array}\right)
p^k(1-p)^{n-k}
$$
均值为
$$\lambda=E(X)=np$$
若将$T$时间段切分得足够小（$n\rightarrow\infty$），则$T$时间内来了$k$个客人的概率为
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \lim_{n\rightarrow \infty}\left(
\begin{array}{c}
n\
k
\end{array}\right)
p^k(1-p)^{n-k}\
=& \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\
=& \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\lambda^k}{k!}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\
=& \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\lambda^k}{k!}1\cdot(1-\frac{1}{n})\cdot\cdots\cdot\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\
=& \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
\end{aligned}
\end{equation}
其中
$$\lim_{n\rightarrow\infty}1\cdot(1-\frac{1}{n})\cdot\cdots\cdot(1-\frac{k-1}{n})\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}=1$$
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\lambda}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{\frac{n}{\lambda} }=e^{\lambda}e^{-1}=e^{-\lambda}$$
强度为$\lambda$的泊松分布过程的点间间距服从参数为$\lambda$的指数分布（均值为$1/\lambda$）。
未完待续（表示本篇博客未写完~会继续更新）
